maandag 7 april 2014

CRR Binomial Model

CRR Binomial Model

Een bekend wiskundig model om optieprijzen uit te rekenen is het CRR Binomial Model.

Hierbij staat CRR voor de ontwikkelaars van het model, namelijk Cox, Rubenstein en Ross.

Het idee erachter is dat we steeds 2 mogelijkheden hebben, namelijk dat een aandeel omhoog of omlaag kan gaan met een bepaald percentage.

We zien dat het eenvoudigste met een voorbeeld.

Stel we hebben een aandeel XYZ dat een koers heeft van €50,00, met een volatility van 35. In een periode van 6 maanden kan dat aandeel dan maximaal €64,05 waard zijn, en minimaal € 51,14. De kans laat zich berekenen uit de volatily:



Hieruit volgt dan een prijsdistributie van de volgende vorm:




Een dergelijke distributie is te gebruiken om een inzet te berekenen. Stel we hebben een calloptie met een uitoefenprijs van€ 60,00.

Bij een koers van de onderliggende waarde van € 64,05 is deze calloptie dan€ 64,05 - € 60 = € 4,05 waard.

Bij elke koers onder de € 60 heeft deze optie geen waarde

In tabelvorm krijgen we dan


Koers onderliggende waarde Kans (%) waarde optie
64,05 48,9 4,05
39,05 51,1 0,00


De verwachte waarde van een 60 calloptie is dan (0,489 *€4,05) + (0,511*€0,00) =€ 1,98

Deze€ 1,98 is de waarde in de toekomst (over zes maanden) en we kunnen er dus de contante waarde van vandaag mee berekenen, en bij een rentevoet van 5% komen we uit op een waarde vandaag van ongeveer€1,93.



Maar dit is slechts 1 stap. Hoe meer stappen hoe nauwkeuriger onze berekening zal worden. We breiden nu ons model uit van 1 stap naar 2 stappen.



De prijsdistributie krijgt dan de volgende vorm:



Ook deze prijsdistributie is weer te gebruiken om een prijs voor een calloptie te berekenen. Ook hier maken we daarbij weer gebruik van een tabel:


Koers onderliggende waarde Kans (%) waarde optie
70,92 24,3 10,92
50 50 0,00
35,23 25,7 0,00


De verwachte waarde van een 60 calloptie is dan (0,243 * €10,92) + (0,5* €0,5) + (0,257* €0,00) = € 2,90

Ook van deze €2.90 kunnen we weer de contante waarde berekenen en komen uit op €2,58

We gaan weer verder met het verfijnen van ons model gaan nu over op 10 stappen:



De prijsdistributie krijgt nu steeds meer de vorm van de bekende verdelingen:



De berekeningen nemen natuurlijk steeds verder in omvang toe, maar het principe blijft gewoon hetzelfde. Als we de contante waarde van een call 60 optie berekenen dan komen we uit op € 2,09.

We gaan weer verder en gaan nu over op 100 stappen. Omdat de cijfers niet meer te lezen zijn laten we die maar even weg uit de grafiek



De prijsdistributie heeft nu duidelijk de vorm van de log-normale verdeling aangenomen: :



De theoretische waarde komt nu uiteindelijk uit op €2,12. Dit bedrag zal redelijk constant blijven, ondanks het feit dat we meerdere stappen tussen gaan voegen:



Aantal stappen contante waarde call 60
Looptijd 6 maanden, volatility 35
1 1,93
2 2,58
5 2,21
10 2,09
25 2,14
35 2,136
50 2,136
100 2,127
130 2,121
10000 2,1216
Black scholes model 2,121


We zien dat bij meer dan 25 stappen de fout al onder de 1% is gezakt, en daarmee voor een model als dit zeer acceptabel is.

Een zeer belangrijke grootheid bij het bepalen van een optieprijs is de volatility. Daarom kijken we nog even naar het verschil tussen een waardeontwikkeling bij de onderliggende waarde van 35 en 65:



We zien dat we nu op een mogelijke waarde van 279 in plaats van 126 uitkomen.







Gebruikte begrippen in crr binomial model


Onderstaande begrippen die in bovenstaande tekst zijn gebruikt zijn elders op deze site gedefinieerd.

aandeel
  ... In het algemeen gesproken is een aandeel een deel van een gezamenlijke eigendom bijvoorbeeld een aandeel hebben in een nalatenschap...Lees meer
call
  ... de losse term call kan in diverse betekenissen worden gebruikt in de eerste plaats voor een calloptie en in de tweede...Lees meer
calloptie
  ... voor veel beleggers zijn opties het einde ofwel in figuurlijke zin omdat men enthousiast is over de vele mogelijkheden ofwel...Lees meer
contante waarde
  ... bij veel berekeningen op het gebied van beleggingen leningenen en hypotheken stuiten we op het begrip contante waarde...Lees meer
grafiek
  ... een grafiek is een manier om een reeks getallen zoals koersen visueel weer te geven...Lees meer
koers
  ... iedere belegger weet wat een koers is nietwaar hoewel? elder beschrijft in zijn boek een aantal denkbeelden die aardig tot...Lees meer
laten
  ... onder laten verstaan we het afgeven van koersen waartegen men effecten of valuta wil verkopen ook wordt het gebruikt als...Lees meer
looptijd
  ... het begrip looptijd komen we in de financiĆ«le wereld veelvuldig tegen 1 de resterende duur van een obligatielening 2 de resterende tijd...Lees meer
model
  ... een model is een versimpelde afbeelding van de werkelijkheid die echter eenvoudiger te manipuleren of te doorzien is...Lees meer
onderliggende waarde
  ... onder de onderliggende waarde verstaan we datgene dat de basis van een optie vormt bijvoorbeeld een aandeel een aandelen...Lees meer
optie
  ... met een optie kopen we een recht tot het kopen of verkopen van een onderliggende waarde bijvoorbeeld een aandeel...Lees meer
optieprijs
  ... de term optieprijs is een minder gebruikelijke naam voor de koers of...Lees meer
prijs
  ... de prijs is de tegenwaarde in geld die voor een product of dienst betaald moet worden soms is er sprake...Lees meer
theoretische waarde
  ... de theoretische waarde van een optie wordt middels wiskundige modellen berekend zoals de bekende black and scholes formule...Lees meer
volatility
  ... de volatility is de mate van beweging van de koers van een aandeel en wordt ook de beweeglijkheid genoemd...Lees meer
waarde
  ... de waarde van iets is in het algemeen het geldbedrag dat iets vertegenwoordigt de waarde wordt doorgaans gevonden door de...Lees meer